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ドローンのシステム基礎を学ぶ(8) [ロボットを作ってみる!]

今回は基本的なシステムを例にしてフィードバック制御理論について学んでみたいと思います。下記のような直線に走る車を考えます。

このドライバーは車を80km/hで走らせたいと思っています。一方車の速度は60km/hです。この時に車の速度差に応じたトルクを与えるとします。


feedback_system.png


これをフィードバック制御システムに置き換えると下記のようになります。


feedback_system2.png


このシステムで実測速度がターゲット速度に近づけられるか数学的に考えてみます。

まず、速度差に応じた力を与える式を考えます。Vt はターゲット速度(例では80km/h)。Vm は実測速度(例では60km/h)です。Vt はターゲット速度なので定数なのに注意してください。


formula1.png


一方で力は質量×加速度で表すことができますので、下記のように表現できます。


formula2.png


(1)と(2)の式から速度差と実測速度の関係が導けます。


formula3.png


(1)と(2)と(3)の式から、下記の式が求まります。


formula3-1.png


これを変数分離で変数を右辺左辺にまとめます。


formula3-2.png


両辺を積分します。これは未知の関数を求める数学的テクニックですね。


formula3-3.png


積分すると下記の式が導けます。ここで log の底はe、Cは積分定数になります。


formula3-4.png


形を整えるために指数に変換します。これで、Ev(t) の式が求まりました。


formula4.png


Cが不定なのは気持ち悪いので、ここで t=0 を代入します。eのC乗は速度差の初期値と等しくなります。


formula5.png


これで、Ev(t) の式が確定しました。


formula6.png


これは減衰関数を言われるもので、t →∞ でゼロに近づきます。


formula7.png


これは、(1)の式からターゲット速度 Vt と実測速度 Vm の差がゼロに近づくことを意味します。つまり、Vm が Vt にどんどん近づいていくということです。


formula8.png


これで、フィードバック制御システムはうまく働くということが数学的に証明されました。これをシステム的に表すと、下記のようになります。


feedback_system3.png


ここでは時間は連続的なものと扱いましたが、実際のシステムでは測定するのに時間がかかります。つまり飛び飛びの時間で測定されるので、k が大きいと、ターゲット速度を追い越してしまい振動が発生します。

次もそのようなフィードバック制御の特質について深堀したいと思います!
しかし、久しぶりの数学は頭が痛くなるなぁ。
σ(^_^;





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